Luovuus matematiikassa

Kirjoittaja: 

Erkki Pehkonen, Helsingin yliopisto, OKL

Koulumatematiikassa on luovuus usein jäänyt sivuun, kun opetus on keskittynyt laskualgoritmeihin. Mutta luovuus on ollut yhtenä peruskoulun opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana formaalina tavoitteena alusta alkaen (vrt. Anon. 1970) ja on sitä edelleenkin (vrt. Anon. 2004). Siksi olen opettajankoulutuslaitoksella opetuksessani 1980-luvulta alkaen tuonut esille luovuuden merkityksen myös matematiikassa ja alkanut kirjoittaa siitä (vrt. Pehkonen 1984, 1986). Tämä artikkeli rakentuu monina vuosina opetusharjoittelijoille pitämäni luennon pohjalle; myös olen aihetta käsitellyt useilla opettajien täydennyskoulutuskursseilla. Artikkelin alkuosassa käsitellään pääasiassa luovuutta ja sen yhteyttä matematiikkaan. Lopuksi keskitytään keinoihin edistää luovuutta matematiikanopetuksessa.

Elämässä selviämiseen tarvitaan koko joukko auktoriteettiuskoa (esim. hissi toimii nappia painamalla moitteettomasti) sekä runsaasti perustietoja eri aloilta (esim. sähkön kulkeminen virtapiireissä, kun sulake on palanut). Mutta muuttuvassa yhteiskunnassa tarvitaan näiden lisäksi intuitiivista menettelyä: intuition avulla saadaan uusia ideoita ja entisen totuuden arvo asetetaan kyseenalaiseksi. Jotta ihminen pystyisi toimimaan luovasti, hänellä pitää olla riittävä määrä perustietoa, mutta hänen on oltava myös tarvittaessa valmis luopumaan siitä uutta kehitettäessä.

Yleensä ihmiset ajattelevat, että luovuudella ja matematiikalla ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa. Tämä käsitys perustunee ihmisten koulumuistoihin, jotka ovat hyvin samansuuntaisia ja joissa matematiikka yhdistyy vahvasti laskemiseen. Luovuus taas ihmisten mielissä liittyy läheisesti mm. taiteeseen. Mutta luovuus ei ole vain taiteilijoille ja tieteilijöille kuuluva ominaisuus, vaan se on myös osa jokapäiväistä elämää. Esimerkiksi tee-se-itse mies toteuttaa luovaa ajattelua, kun hän puutteellisin työkaluin ratkaisee omia käytännön ongelmatilanteita. Samoin perheen ruoanlaittaja toimii luovasti kehittäesään kaapeistaan löytyvistä ruokatarvikkeista maukkaan aterian. Tästä syystä luovuuden kehittäminen on yhä edelleen peruskoulun opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana (formaalina) yleistavoitteena (Anon. 2004). Tästä seuraa, että luovuus on automaattisesti osa “matematiikka kaikille”-ohjelmaa.

Logiikka ja luovuus

Matemaatikot kiistävät jyrkästi luovuuden erottamisen matematiikasta (esim. Monna 1992). Mm. Kiesswetter (1983) väittää omiin kokemuksiinsa perustuen, että joustava ajattelu on eräs tärkeimmistä ominaisuuksista, joita menestyksekäs ongelmanratkaisija tarvitsee. Toisaalta joustava ajattelu on yksi neljästä luovuuden komponenteista Torrancen (1974) mukaan. On myös sanottu, että matematiikassa tarvitaan kahta hyvin erilaista, toisiaan täydentävää ajattelumoodia: Luovaa ajattelua, jolle on tyypillistä “intuitio”, sekä analyyttista ajattelua, jolle “logiikka” on ominaista. (ks. lisää Pehkonen 2004)

Logiikka

Loogiseksi sanotaan sellaista ajattelua, joka perustuu logiikkaan. Tällöin ajatellaan logiikan olevan ns. kaksiarvoista propositiologiikkaa, jossa jokainen väite on joko tosi (1) tai epätosi (0), kolmatta vaihtoehtoa ei ole. Tämä logiikka pohjautuu Antiikin kreikkalaisten päättelysääntöihin, joiden mukaan paljon nykyäänkin matematiikassa päätellään. Näihin perustuen matemaattisessa todistamisessa käytetään jotakin kolmesta perusperiaatteesta: suora todistus, epäsuora todistus, matemaattinen induktio. Matematiikanopetuksen uudistukseen liittyen sisällytettiin 1970-luvulla lukion matematiikkaan suppea kurssi logiikkaa ja joukko-oppia (esim. Lehtosaari & Leino 1971), mutta se jätettiin pois kurssisisällöistä jo seuraavalla vuosikymmenellä.

Voidaan puhua logiikan uudistumisesta, kun Yhdysvalloissa 1960-luvulla kehitettiin ns. sumea logiikka (fuzzy logic), jossa väite on tosi tietyllä todennäköisyydellä. Klassinen logiikka on sumean logiikan erikoistapaus: tosi (100 %) ja epätosi (0 %). Sumeaa logiikkaa käyttää mm. säätöteoriassa, robotiikassa ja hahmontunnistuksessa, joissa yleensä tarvitaan vaihtoehtoja 0 ja 1 välillä. Tähän liittyen on kehitetty myös sumeaa matematiikkaa, mutta sillä ei liene kosketuskohtia koulumatematiikan kanssa.

Mitä on luovuus?

Jos tarkkailemme matemaatikon (tai jonkin muun alan tiedemiehen) toimintaa hänen lähestyessään uutta tehtävää, toteamme että hän yleensä ensin kokeilee erilaisilla erikoistapauksilla. Nämä ensimmäiset kokeilut ovat useimmiten satunnaisia, mutta ne vähitellen asettuvat tiettyyn suuntaan – tällöin matemaatikon mielessä herää ajatus mahdollisesta ratkaisusta. Kokeilujen perusteella hän saattaa asettaa hypoteesin, jota hän yrittää todistaa oikeaksi. Siksi luova toiminta (ja ongelman asettaminen) on oleellinen osa matematiikan tekemistä eli matemaattisten ongelmien ratkaisemista.

Luovuus on käsite, joka on koettu hankalaksi määritellä (ks. Haylock 1987). Kun määrittely ei ole ollut mahdollista, niin kirjallisuudessa on ollut tyypillistä kuvailla luovuus sellaisten henkilöiden käyttäytymisen kautta, joita yleisesti pidetään luovina (ts. prototyypin avulla määrittely). Erilaisissa luovuutta käsittelevissä kirjoissa voidaan lukea mm. Arkhimedeen “Heureka”-kokemuksesta sekä Darwinin vuosia kestäneestä tietojen keräämisestä ja järjestämisestä, ennenkuin hän sai idean evoluutiosta.

Luovuuskirjallisuudessa on monia kuvailuja, mutta Haylockin (1987) mukaan ei näytä olevan yhtään yleisesti hyväksyttävää määritelmää, jonka kaikki luovuustutkijat (tai suurin osa luovuustutkijoista) voisivat hyväksyä. Jokainen tutkija näyttää muotoilevan oman määritelmänsä. Seuraavassa käytämme suomalaisen neurofysiologin Matti Bergströmin käyttöön ottamaa määritelmää. Hän kuvailee luovuutta “esiintymisenä, jossa yksilö tuottaa jotakin uutta ja ennalta-arvaamatonta” (Bergström 1984). Bergström ottaa käyttöön käsitteet “arkipäivän luovuus” ja “sunnuntailuovuus”. Näistä ensimmäisellä hän tarkoittaa sellaisten uusien assosiaatioiden löytämistä, jotka ovat ennustettavissa, jos vain tunnemme ne elementit jotka assosioidaan. Tähän ilmeisesti pystyy tietokonekin sopivalla ohjelmoinnilla. Sen sijaan todellinen luovuus (jälkimmäinen) vaatii erityiset olosuhteet, sitä ei voida saavuttaa tarkoituksella eikä mekaanisin menetelmin (ibid 170). Mm. Torrance (1974) kehitti testejä luovuuden neljän komponentin mittaamiseksi: ideavuolaus, ideajoustavuus, originaalisuus, viimeistely.

Luovuuteen liittyviä käsitteitä

Keskeisiä käsitteitä luovuuden yhteydessä ovat älykkyys, looginen ajattelu, tunneperäinen ajattelu, mielikuvitus, divergoiva ajattelu, konvergoiva ajattelu ja luova ajattelu. Nämä käsitteet on selkeästi esitetty mm. kirjasessa Mononen & al. (1982, 11–14).

Älykkyys voitaisiin määritellä ihmisen kykynä käyttää hyväkseen loogista ajattelua. On todettu, että ihmisen isojen aivojen toinen aivolohko (noin 90 % ihmisistä vasen) on erikoistunut loogiseen ajatteluun, kun taas toisen aivopuoliskon (noin 90 % ihmisistä oikea) ajattelua voidaan kuvailla sanalla tunneperäinen ajattelu (esim. Springer & Deutsch 1985). Looginen ajattelu käyttää apuvälineinä sanoja, lukuja, yms. melko tarkasti määriteltyjä käsitteitä. Sen sijaan tunneperäinen ajattelu käyttää apuvälineinä hahmoja, sen kohdalla puhutaan hahmottavasta ajattelusta.

Mielikuvitus on tunneperäisen ajattelun osa. Se käyttää apunaan paitsi oikeassa aivolohkossa olevia valmiita hahmoja myös erilaisia tilapäiskäyttöön luomiamme hahmoja. Hahmot ovat ihmisen ajattelulle tärkeitä, koska ne mahdollistavat nopean ajattelemisen. Tiedot liikkuvat käsittelyvaiheessa suurina kokonaisuuksina.

Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa pääasiassa ohjaamatonta ajattelua, se on usein epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen hyppivää. Mononen & al. (1982, 13) kuvaa ajattelun kulkua divergoivaa ajattelua hyödynnettäessä Kuvan 1 kaaviolla. Sen sijaan konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua.


Kuva 1. Ajattelun kulku divergoivaa ajattelua hyödynnettäessä.

 

On olemassa monia tapoja määritellä luova ajattelu (vrt. McGregor 2007, 168). Hyvin yleinen kuvailu on, että luova ajattelu määritellään loogisen ajattelun ja divergentin ajattelun tavoitteellisena yhdistelmänä. Kuvan 1 tilanteessa aloitetaan lähtöongelman ja siihen liittyvien tosiasioiden pohtimisella. Soveltamalla divergoivaa ajattelua (tähän on olemassa monia tekniikkoja; ks. Mononen & al. 1982) tuotetaan runsaasti ajatuksia, joista jotkut ovat hyväntuntuisia (lamppu!). Näistä kootaan lopuksi loogisella ajattelulla yhteenveto. Samoin ratkaisun tarkistamiseen käytetään loogista ajattelua.

Luovuus voitaisiin määritellä ihmisen kykynä luovaan työhön. Luova työ voitaisiin määritellä seuraavasti: Työ on luovaa, jos sen tuloksena on sellainen ennestään tunnettujen asioiden yhdistelmä, joka on tekijälleen uusi (vrt. Bergströmin (1984) määritelmään). Luovassa prosessissa tarvitaan kumpaakin aivopuoliskoa, jolloin luovat impulssit muunnetaan erilaisia tekniikoita ja symboleja käyttämällä kommunikoitaviksi tuotteiksi.

Luovuuden yhteys matematiikkaan

Ongelmanratkaisua tarjotaan yleisesti menetelmänä matemaattisen ajattelun ja luovuuden kehittämiseen (esim. Schoenfeld 1985). Tässä käytetään seuraavaa ongelman luonnehdintaa, joka on laajasti käytetty kirjallisuudessa (esim. Kantowski 1980): Tehtävän sanotaan olevan ongelma, jos sen ratkaiseminen vaatii, että ratkaisijan on yhdisteltävä ennestään tuttua tietoa (hänelle) uudella tavalla. Jos hän voi heti tunnistaa ne toimenpiteet, jotka tarvitaan tehtävän ratkaisemiseen, niin kyseessä on hänelle rutiinitehtävä (tai standarditehtävä tai harjoitustehtävä). Siispä ongelmanratkaisu voidaan ymmärtää prosessina, jossa aikaisemmin hankittua tietoa käytetään uudessa ja tuntemattomassa tilanteessa.

Mm. kansainvälisessä ICME-kokouksessa (Sevilla 1996) oli luovuus matematiikassa yhtenä ryhmätyöskentelyn teemana. Tässä teemaryhmässä pitivät pääesitelmän englantilainen Derek Haylock ja amerikkalainen Edward Silver. Edellinen keskittyi luovuuden määrittelyyn matemaatikon näkökulmasta (Haylock 1997) ja jälkimmäinen painottui ongelmanratkaisuun luovuuden ilmentäjänä ja kehittäjänä matematiikassa (Silver 1997). Itse olen ollut kiinnostunut luovuuden ja matemaattisen ajattelun kehittämisestä yli kaksikymmentäviisi vuotta, jolloin kirjoitin ensimmäisen artikkelini ko. aiheesta (Pehkonen 1984).

Luova ongelmanratkaisu

Ongelmanratkaisutilanteissa ratkaisija joutuu vuorottelemaan loogisen ajattelun ja luovan ajattelun välillä siirtyen ideasta toiseen, siis idean kriittisestä arvioinnista sen kehittämiseen (McGregor 2007, 173). Jotta yksilö ymmärtää milloin näitä erityyppisiä ajattelumoodeja on käytettävä, on kyettävä metakognitiiviseen prosessointiin.


 

Kirjallisuudessa on otettu käyttöön termi ‘luova ongelmanratkaisu’, jossa painotetaan nimenomaan ongelmanratkaisua luovana prosessina. Luovaa ongelmanratkaisua voidaan pitää laajana kokonaisvaltaisena prosessina, johon liittyy erilaisia menetelmiä, mutta ennen kaikkea vanhojen luutuneiden ajattelutapojen ja asenteiden muuntamista joustaviksi ja vastaanottavaisiksi. Pientenkin ongelmien ratkaisemiseen sisältyy aina luovuutta, kun ratkaisuun ei päädytä tavanomaista tuttua menetelmää seuraamalla vaan yhdistelemällä ja kokeilemalla erilaisia ideoita ja toimintavaihtoehtoja. Luovaan ongelmanratkaisuun liittyviä menetelmiä ovat esimerkiksi kysymyslistat, aivoriihi, tuumatalkoot ja kaukaiset ajatusmallit (ks. Sahlberg & al. 1993).

Bergström (1985) kirjoitti paljon matematiikan ja luovuuden välisistä yhteyksistä 1980-luvulla. Hän korosti kouluopetuksessa logiikan ja luovuuden välistä tasapainoa. Jos yksilö painottaa loogista ajattelua liian paljon, hän vastaavasti vaimentaa luovuuttaan. Mitä logiikassa voitetaan, se luovuudessa menetetään, ja päinvastoin. Luovuus vaatii kehittyäkseen toiminnanvapautta ylenmääräisestä paineesta ja kontrollista.

Suomessakin matemaatikot ovat kiinnostuneet luovuuden ja matematiikan välisistä kytkennöistä (Lehtinen 2010). Matti Lehtinen tukeutui Newsweek-lehden kansikuvajuttuun, josta hän siteerasi ‘aivopuoliskojen’ yhteistyötä ongelmanratkaisussa. Tällöin korostui ‘vasen aivopuolisko’ loogisena ja ‘oikea aivopuolisko’ holistisena yksikkönä. Sen sijaan Antti Viholainen esitteli Ruotsissa käynnistettyä luovuuskeskustelua (Viholainen 2010).

Tiedon merkitys ongelmanratkaisuprosessissa on hyvin tunnettu ja yleisesti hyväksytty. Mutta tutkimukset ovat näyttäneet, että kuten liian vähän tietoa myös liian paljon tietoa voi alentaa ihmisaivojen informaationprosessointikykyä ja tehokkuutta; siksi nämä molemmat ääripäät saattavat asettaa esteen luovuudelle (vrt. Bergström 1985). Yksilö, joka on saanut yksipuolisen tietopainotteisen kasvatuksen saattaa olla kyvytön käyttämään luovuuttaan, koska vastaavia osia hänen aivoistaan ei ole harjoitettu riittävästi, mutta sen sijaan estäviä osia enemmänkin.

Oppimispsykologisia tutkimustuloksia

Matematiikka koulussa ei saisi olla vain laskemista, vaan opetuksen päämääränä pitäisi olla myös ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelun kehittäminen. Tavanomaista kouluopetusta on syytetty siitä, että se pitää täysin erillisenä toimintaa ja kontekstia, jossa oppiminen tapahtuu. Psykologiset tutkimukset ovat kuitenkin osoittaneet, että (matematiikankin) oppiminen on vahvasti tilannesidonnaista (esim. Brown & al. 1989, Collins & al. 1989, Bereiter 1990). Uusimmat oppimispsykologiset tutkimukset ovat mm. vahvistaneet Andersonin (1980) hypoteesin, että tosiasioiden ja toimintojen oppiminen tapahtuu erilaisin mekanismein (Bereiter & Scardamalia 1996). Siispä koulun matematiikanopetukseen olisi liitettävä uusia elementtejä.

Tavanomainen opetus soveltuu hyvin tosiasioiden oppimiseen, mutta toimintatapojen oppimiseen tarvitaan uusia menetelmiä, jotka panostavat oppilaiden omaehtoiseen opiskeluun. Tähän tarjoavat avoimet oppimisympäristöt mahdollisuuden, koska niiden puitteissa käsitellään todellisia ongelmia, reagoidaan aktiivisesti ja opitaan luonnollisissa tilanteissa. Koska oppiminen toteutetaan tällöin tutkimisen ja ongelmien ratkaisujen löytämisen kautta, väitetään että sellainen aktiivinen oppiminen johtaa parempaan avainperiaatteiden ja –käsitteiden ymmärtämiseen. Aktiivinen työskentely asettaa oppilaan todelliseen ongelmanratkaisuympäristöön ja voi täten yhdistää todellisen elämän ja luokkahuoneilmiöt keskenään (Blumenfeld & al. 1991).

Tutkimuksessa on todettu, että sääntöjen ja algoritmien jatkuva painotus saattaa estää luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen kehittymisen (esim. Bergström 1985). Sellaiset oppimisympäristöt, jotka tarjoavat oppilaille mahdollisuuksia tutkimiseen, non-verbaaliin ilmaisuun, laboratoriotyöskentelyyn ja moniaistiseen oppimiseen, antavat oppilaille mahdollisuuksia saavuttaa uusia tasoja matematiikassa. Viimeisen kolmenkymmenen vuoden aikana on ainedidaktisen tutkimuksen puitteissa kehitetty matematiikanopetukseen tällaisia menetelmiä; erityisesti on huomattava, että ne pyritään sovittamaan yhteen konstruktivistisen oppimisnäkemyksen kanssa. Eräs useasti kirjallisuudessa kuvailtu opetusmalli on avoimien tehtävien käyttäminen ymmärtämisen tason nostamiseksi ja luovuuden edistämiseksi (ks. Pehkonen 1994).

Ideoiden kehittely ja muotoilu, ongelmatilanteiden pohtiminen ja vaihtoehtojen punnitseminen edellyttävät oppilaiden välistä keskustelua ja sosiaalista kanssakäymistä. Tämä olennainen osa omaehtoista, aktiivista työskentelyä on kulttuurissa luonnollinen tapa muokata ideoita, käsityksiä ja uskomuksia (Brown & al. 1989). Koulukulttuuriin on kuitenkin yleensä kuulunut keskustelun rajoittaminen. Oppimistutkimusten mukaan oppilaita tulisi kannustaa keskustelemaan vapaasti toistensa kanssa eikä suinkaan ehkäistä sitä. Ongelmaksi jää keskustelun ohjaaminen oikeaan suuntaan ja sen pysyminen asianmukaisissa puitteissa.

Avoin lähestymistapa

Kun konstruktivistinen oppimisnäkemys yli kaksikymmentä vuotta sitten valtasi alaa myös matematiikanopetuksen piirissä (vrt. Davis & al. 1990), heräsi tarve kehittää menetelmiä kohtaamaan konstruktivismin asettamat haasteet. Eräs tällainen ratkaisu oli avoin lähestymistapa tai toiselta nimeltä avoimien ongelmatehtävien käyttäminen.

Avoimen lähestymistavan lyhyt historia. Japanissa kehitettiin 1970-luvulla ns. avoin lähestymistapa matematiikanopetukseen, jonka tavoitteena on kehittää oppilaiden luovuutta ja luokkahuoneessa mielekästä keskustelua (Shimada 1977; ks. myös Nohda 1991, Pehkonen 1995, Becker & Shimada 1997). Samoihin aikoihin Englannissa otettiin käyttöön ns. tutkimustehtävät (investigations), jotka tulivat suosituiksi matematiikanopetuksessa (Wiliam 1994). Tutkimustehtävien ideaa levitti erityisesti Cockcroft-raportti (1982). Siksi 1980-luvulla ajatus käyttää avoimia tehtäviä jossakin muodossa luokkahuoneessa levisi yli koko maailman ja tutkimus sen mahdollisuuksista matematiikanopetuksessa oli kovin vilkasta monissa maissa (esim. Nohda 1987, 1991, 1995, Pehkonen 1989, 1995, Silver & Mamona 1989, Williams 1989, Mason 1991, Stacey 1991, 1995, Zimmermann 1991, Clarke & Sullivan 1992, Silver 1994, 1995). Joissakin maissa käytettiin erilaista nimeä avoimille ongelmille; esimerkiksi Hollannissa he kutsuvat menetelmäänsä “realistiseksi matematiikaksi” (Treffers 1991).

Ajatus käyttää avoimien ongelmia koulumatematiikassa on kirjoitettu joissakin maissa jopa opetussuunnitelmaan. Esimerkiksi Hampurin (Saksa) yhtenäiskoulun matematiikan opetussuunnitelmassa on varattu noin viidesosa opetusajasta sisältövapaaksi, jotta opettajat innostuisivat käyttämään matemaattisia aktiviteetteja (Anon. 1990). Kaliforniassa (USA) ehdotetaan avoimien ongelmien käyttämistä oppilasarvioinnissa tavanomaisten monivalintatestien rinnalla (Anon. 1991). Viktoriassa (Austraalia) on käytetty tietynlaisia avoimia ongelmia (esim. tutkimuksellisia projekteja) päättöarvioinnissa jo 1980-luvun loppupuolelta alkaen (Stacey 1995).

Jo kymmenen vuotta sitten julkaistiin joitakin kriittisiä tekstejä avoimien ongelmien käyttämisestä. Esimerkiksi amerikkalainen matemaatikko kirjoitti hyvin skeptisen artikkelin matematiikan oppimisesta avoimia ongelmia käyttäen tai tarkemmin sitä vastaan, miten avoimia ongelmia käytetään kalifornialaisissa kouluissa (Wu 1994). Kansainvälisessä PME-kokouksessa Valenciassa Paul Blanc kritisoi hyvin vahvasti tutkimustehtävien toteutusta Britannian kouluissa (Blanc & Sutherland 1996). Hän moitti, että opettajat ovat kehittäneet uuden mekaanisen rutiinin ratkaista tutkimustehtäviä.

Avoimista tehtävistä. Lähtö­koh­taisesti japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa. Siinä ei olekaan keskeistä ongelmatehtävien ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts. luovuuden kehittäminen matematiikan opetuksen puitteissa. Tehtävän sanotaan olevan avoin, jos sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritetty (Pehkonen 1995). Avoimien tehtävien ratkaisemisessa oppilailla on vapaus tuoda mukaan lisäoletuksia ratkaisuprosessin aikana. Tällöin he käytännössä päätyvät erilaisiin, mutta aivan yhtä oikeisiin tuloksiin. Siksi avoimilla tehtävillä on tavallisesti useita oikeita vastauksia. Avoimiin tehtäviin kuuluvat mm. arkielämän tehtävät, ongelman asettaminen, ongelmakentät (tai ongelmajonot), ongelmat joissa ei ole kysymystä, ongelmien muunnokset (”entäpä-jos”-menetelmä; Schupp 2002), projektityöt ja tutkimustehtävät (Pehkonen 1995, 1997).

Tutkimustehtäville on tyypillistä, että siinä annetaan lähtötilanne, jonka puitteissa oppilas itse muotoilee ongelmansa ja ratkaisee sen. Näitä on käytetty hyvin paljon Englannissa ja Skotlannissa (Williams 1989) sekä Australiassa (Stacey 1995). Probleeman asettamista on toista kymmentä vuotta tutkittu runsaasti USA:ssa Ed Silverin johdolla (esim. Silver 1995). Itse olen käyttänyt avoimia tehtäviä ongelmakenttien muodossa (mm. Pehkonen 1993). Opettajankoulutuslaitoksen sarjassa julkaistiin kansainvälisten tutkijoiden keskusteluryhmän alustuksia avoimien ongelmien käyttömahdollisuuksista (Pehkonen 1997).

Ongelmanasettelu luovuuden kehittäjänä

Paljon on tehty työtä pyrittäessä esittämään matematiikka luovana toimintana. Se rohkaisee itsenäiseen ajatteluun, ja siksi sen toivotaan vähentävän matematiikkapelkoa. Siksi ongelmanratkaisu on ensimmäinen askel tähän suuntaan. Voidaan sanoa, että 1950-luvulla George Polyan loi ongelmanratkaisun teoreettisen viitekehyksen. Ongelmanratkaisussa on luova elementti, mutta ei paljonkaan vapautta, ja toisaalta luovuus vaatii vapautta. Jotta oppilaille annettaisiin enemmän vapautta, luonnollinen ratkaisu on sallia oppilaiden itse asettaa omat kysymyksensä. Tutkimustehtävät (vrt. Mason 1982) sallivat tämän, mutta vapautta on vielä rajoitettu annetulla matemaattisella tehtävätilanteella. Yli kaksikymmentä vuotta sitten on kehitetty toinen lähestymistapa vapauden maksimoimiseksi: avoimet tehtävät. Nämä muodostavat avoimen lähestymistavan ytimen (esim. Nohda 1987, 1991).

Ongelma saattaa olla avoin siten, että se ehdottaa toisten ongelmien muotoilemista, jolloin tuloksena oleva toiminta on ongelmanasettelua. Ongelmanasettelua saattaa rajoittaa alkuperäinen ongelma, mutta tätä lukuunottamatta se on vapaa kaikista rajoituksista. Ongelmanasettelua ja –muotoilua on pitkään tutkittu matematiikan didaktiikassa. Mm. Brown & Walter (1983) ovat antaneet kuvauksen ongelmanasetteluun soveltuvista strategioista. Suomeen tämä tutkimussuuntaus saapui vasta 1980-luvun puolivälissä, kun Zimmermann esitteli sen vierailuluennollaan Helsingissä (Zimmermann 1986).


 

Mitä on ongelmanasettelu?

Ongelmanasettelu (problem posing) tarkoittaa ongelmatilanteessa ongelman muotoilua (eli asettamista) siten, että se saadaan ratkaistavaan muotoon. Yksinkertaisimmillaan ongelmanratkaisu on sopivan kysymyksen (ongelman) esittämistä ja kun siihen on saatu vastaus, niin ongelmanratkaisua on opiskeltu. Mutta jokaisen tällaisen ongelman takana on suuri joukko potentiaalisesti kiinnostavia ongelmia (alkuperäisen ongelman variaatioita), vrt. Schupp (2002). Yksi strategia miten päästä käsiksi näihin ongelmiin on kysyä, minkälaista tietoa ongelma antaa meille, minkälaista tietoa on tuntemattomasta (halutusta ratkaisusta) ja minkälaiset rajoitukset on asetettu ratkaisulle (Moses & al. 1990). Saksassa on lähdetty kehittämään oppilaiden luovuutta omaehtoisen ongelmanasettelun kautta (Büchter & Leuders 2005).

Esimerkki 3 näyttää selkeän ongelmanasettelutilanteen. Siinä annetaan tilanne (raamit), joissa toimitaan ja oppilaiden pitää itse kehittää ja muodoilla itseään kiinnostava ongelma. Kun kaikki oppilaiden asettamat ongelmat kerätään yhteen, niin niistä voidaan valita sopiva yhteisesti ratkaistavaksi, jolloin opettajallakin on aidosti ongelma. Näin voidaan myös parantaa luokkahuoneen opiskeluilmapiiriä.

Esimerkissä 3 pitää ratkaisijan keksiä sopiva ongelma ja muotoilla se (ongelman asettaminen). Esimerkkejä mahdollisista ongelmista voisivat olla seuraavat:

  • “Löytyykö keskipisteestä lähtevässä diagonaalijonossa 1, 3, 13, … mitään säännönmukaisuutta?”

  • “Mikä on em. lukujonon n:s termi?”

Ulamin spiraalista voidaan kehittää loputon määrä hyvin koulun matematiikanopetukseen soveltuvia ongelmia. Muotoiltuaan ongelman ratkaisija voi miettiä erilaisia siihen sopivia ratkaisumenetelmiä ja mahdollisesti ratkaista ongelma. Tällainen toiminta kuvaa ammattimatemaatikon (tutkijan) tilannetta hänen luodessaan uusia matemaattisia tuloksia (Brown 1997). Kukaan ei anna valmista ongelmaa ammattimatemaatikolle, vaan hänen on löydettävä ja muotoiltava se itse.

Miten ongelmanasettelua toteutetaan?

Alkuperäisestä ongelmasta voidaan kehittää monia uusia ongelmia (ongelman variointi) muuttamalla siinä olevaa tunnettua tietoa, kysyttyä tietoa tai ongelman rajoituksia (esim. Charles & Lester 1982, Moses & al. 1990, Schupp 2002). Kaikkein tavallisimpia muunnoksia ovat seuraavat:

  • Vaihdetaan tunnettu ja kysytty keskenään.

  • Pudotetaan tehtävän jokin rajoitus pois, jolloin uusia ongelmia saadaan esille.

Moses & al. (1990) esittävät matematiikan opettajalle neljää periaatetta ongelmanasettelun toteuttamiseen, jotka he perustavat Brown & Walter (1983) –kirjan opetuksiin.

Periaate 1: Opeta oppilaasi kiinnittämään huomiota ongelman tunnettuun tietoon, kysyttyyn tietoon ja rajoituksiin. Sitten pyydä heitä miettimään seuraavia kysymyksiä: Entä jos tunnettu ja kysytty olisivatkin erilaisia? Entä jos rajoituksia muutettaisiin?

Periaate 2: Aloita turvallisella matematiikan osa-alueella.

Periaate 3: Rohkaise oppilaitasi käyttämään epämääräisyyttä luodessaan uusia kysymyksiä ja ongelmia.

Periaate 4: Opeta matemaattisen idean käsite mahdollisimman aikaisin, rohkaise oppilaat “pelaamaan samaa (matemaattista) peliä erilaisilla pelinappuloilla”.

Miten ongelmanasettelu edistää luovuutta?

Moses & al. (1990) kuvailee opettajan roolia luokassa, jossa hän on avainasemassa. Opettaja antaa oppilaille sen sisältöalueen, jossa liikutaan. Samoin hän auttaa oppilaita avaamaan alkuongelman, jotta löydettäisiin ne toiset ongelmat jotka se generoi. Lisäksi opettaja pyrkii luomaan luokkahuoneilmapiirin vapaaksi ja tuotteliaaksi monin tavoin: Hän mallintaa prosessia henkilökohtaisesti hämmästelemällä avoimesti oppilaiden kanssa, tukemalla vapaata ideoiden vaihtamista ja aktiivisesti rohkaisemalla heitä yhteistyöhön, kunnioittamalla oppilaiden spontaaneja “entäpä-jos”-arveluita ja ratkaisuarvauksia sekä olemalla yhtä kiinnostunut siitä, kuinka oppilaat ajattelevat ongelmasta kuin mitä he saavat tulokseksi.

Seuraavaksi kuvaillaan kaksi strategiaa, jotka saattavat edistää ongelmanasettelua oppilaiden joukossa: (1) Käytä oppikirjan tehtäviä pohjana ongelmanasettelussa. (2) Vältä sellaisia kysymyksiä, joihin on vain yksi vastaus. Lisäksi Moses & al. (1990) antaa seuraavia ohjeita luokkahuoneen opiskeluilmapiirin parantamiseksi: Anna oppilaiden valita, mitä ongelmia he yrittävät ratkaista. Vältä aikapainetta ongelmanratkaisussa. Toteuta aivoriihitoimintaa oppilaillesi kanssa, rohkaise heitä kommunikointiin ja yhteistyöhön.

Ongelmanasettelun arvioinnista

Silver & Cai (2005) lähti tarkastelemaan arviointiteemaa ongelmanasettelun yhteydessä. He erottavat kaksi näkökulmaa arviointiin: oppilasarviointi ongelmanasettelun avulla ja itse ongelmanasettelutoiminnan arviointi. Edellisessä lähdetään tarkastelemaan oppilaiden asettamia ongelmia, jotta nähtäisiin heidän ymmärryksensä käsiteltävästä teemasta (esim. jakolasku). Jälkimmäisessä taas arvioidaan oppilaiden ongelmanasettelukykyä, ts. heidän osoittamaa luovuutta. Tässä voidaan käyttää esim. Torrancen esittämiä luovuuden komponentteja (Guilford 1967): ongelmien määrä, ongelmien originaalisuus ja ongelmien monimutkaisuus. Myös japanilainen avoin lähestymistapa keskittyi oppilaiden luovuuden arviointiin Torrancen neljän komponentin mukaan (Shimada 1997): vuolaus, joustavuus, originaalisuus, vimeistely.

Ongelmanasettelun tutkimuksesta

Vaikka ongelmanasettelua on tarkasteltu pitkään erillään ongelmanratkaisusta (esim. Brown & Walter 1983), siihen on kiinnitetty vähemmän kuin ongelmanratkaisuun tutkimuksellista huomiota (vrt. Kilpatrick 1987). Mm. Japanissa, Australiassa ja Yhdysvalloissa on tehty joitakin tutkimuksia ongelmanasettelusta. Hashimoto (1987) teki laajan tutkimuksen ongelmanasettelun ottamisesta ala-asteen matematiikan opetukseen. Tätä syvensi myöhemmin Lyn English (1997) Australiassa. Yhdysvalloissa Ed Silver on keskeinen hahmo ongelmanasettelun tutkimuksessa, johon myös monet hänen väitöskirjaoppilaansa ovat keskittyneet. Mm. Silver & Mamona (1989) tutkivat yläasteen opettajien ongelmanasettelua ja luokittelivat saamansa ongelmat. Leung (1993) selvitti tehtävän muotoilun, matemaattisen tiedon ja luovan ajattelun suhdetta tietyntyyppiseen ongelmanasetteluun. Silver & Cai (1996) ovat tutkineet yläasteen oppilaiden ongelmanasettelua aritmetiikassa.

Muita luovuuden edistämismenetelmiä matematiikanopetuksen puitteissa ovat mm. seuraavat: tehtävien variointi (esim. Schupp 2002), japanilainen avoin lähestymistapa (esim. Becker & Shimada 1997), tutkiva oppiminen (esim. Hakkarainen & al. 2005). Näistä ensimmäinen ja toinen ovat hyvin lähellä ongelmanasettelua, mutta viimeinen on kasvatuspsykologiaan kuuluva osa-alue.

Lopuksi

Koulun matematiikanopetus voi kehittyä ajattelua ja ymmärtämistä painottavaan suuntaan vasta sitten, kun opettajat itse ryhtyvät aktiivisiksi. Luokassa käytetty opetusmateriaali ei sinänsä tee opetuksesta hyvää – oleellista on opettajan oma henkilökohtainen panos. Keskeistä on se, mitä tapahtuu opettajan korvien välissä. Siksi opettajien ei pitäisi enää tyytyä valmiiseen materiaaliin, vaan ryhtyä itse kehittämään ja muotoilemaan oppikirjan tehtäviä edelleen. Opettajien innostus ja luovuus on edellytys oppilaiden matemaattisen luovuuden kehittymiselle.

Lähteet

Anon. 1970. Peruskoulun opetussuunnitelmakomitean mietintö I. Opetussuunnitelman perusteet. Komiteanmietintö 1970: A 4. Helsinki: Valtion painatuskeskus.

Anon. 1990. Lehrplan Mathematik. Lehrplanrevision Gesamtschule. Sekundarstufe I. Behörde für Schule, Jugend und Berufsbildung, Amt für Schule. Hamburg.

Anon. 1991. A Sampler of Mathematics Assessments. Sacramento (CA): California Dept of Education.

Anon. 2004. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2004. Helsinki: Opetushallitus.

Becker, J.P. & Shimada, S. 1997. The Open-Ended Approach. Reston (VA): NCTM.

Bereiter, C. 1990. Aspects of an Educational Learning Theory. Review of Educational Research, 60 (4), 603-624.

Bereiter, C. & Scardamalia, M. 1996. Rethinking learning. In: The handbook of education and learning. New models of learning, teaching and schooling (eds. D.R. Olson & N. Torrance). Cambridge (MA): Blackwell.

Bergström, M. 1984. Luovuus ja aivotoiminta. Teoksessa: Luovuuden ulottuvuudet (toim. R. Haavikko & J.-E. Ruth), 159–172. Weilin+Göös: Espoo.

Bergström, M. 1985. Ihmisaivot ja matematiikka. Matemaattisten Aineiden Aikakauskirja 49 (3), 211–215.

Blanc, P. & Sutherland, R. 1996. Student teachers’ approaches to investigative mathematics: iterative engagement or disjointed mechanisms? In: Proceedings of the PME-20 conference (eds. L. Puig & A. Gutierrez), Vol. 2, 97–104. Valencia: University of Valencia.

Blumenfeld, P.C., Soloway, E., Marx, R. W., Krajcik, J. S., Guzdial, M. & Palincsar, A. 1991. Motivating project-based learning: Substaining the doing, supporting the learning. Educational Psychologist, 26 (3&4), 369–398.

Brown, J.S., Collins, A. & Duguid, P. 1989. Situated cognition and the culture of learning. Educational Researcher, 18 (1), 32–42.

Brown, S. I. 1997. Thinking Like a Mathematician: A Problematic Perspective. For the Learning of Mathematics 17 (2), 36–38.

Brown, S.I. & Walter, M.I. 1983. The art of problem posing. Philadelphia (PA): Franklin Institute Press.

Clarke, D.J. & Sullivan, P.A. 1992. Responses to open-ended tasks in mathematics: characteristics and implications. In: Proceedings of the PME 16 (ed. W. Geeslin & K. Graham). Volume I, 137–144. Durham (NH): University of New Hampshire.

Cockcroft, W. (Chair) (1982) Mathematics Counts, Report of the Committee of Enquiry into the teaching of Mathematics in Schools. London: HMSO.

Collins, A., Brown, J.S. & Newman, S. 1989. Cognitive apprenticeship: Teaching the crafts of reading, writing and mathematics. In Resnick, L. B. (ed.) Knowing, Learning and Instruction. Essays in Honor of Robert Glaser. Hilldale, N.J. Lawrence Erlbaum Associates, 453 - 494.

Davis, R.B., Maher, C.A. & Noddings, N. (eds.) 1990. Constructivist Views on the Teaching and Learning of Mathematics. JRME Monograph Number 4. Reston (VA): NCTM.

Haylock, D.W. 1987. A framework for assessing mathematical creativity in schoolchildren. Educational Studies in Mathematics 18 (1), 59–74.

Haylock, D.W. 1997. Recognising Mathematical Creativity in Schoolchildren. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 29 (3), 68–74.

Kantowski, M.G. 1980. Some Thoughts on Teaching for Problem-Solving. In: Problem solving in school mathematics (eds. Krulik, S. & Reys, R.E.), NCTM Yearbook 1980, 195–203. Reston (VA): Council.

Kiesswetter, K. 1983. Modellierung von Problemlöseprozessen. Mathematikunterricht 29 (3), 71–101.

Lehtinen, M. 2010. Luovuudesta ja matematiikasta. Solmu Matematiikkalehti 3/2010, 4.

Lehtosaari, Y. & Leino, J. 1971. Matematiikka 10, lukion laajempi kurssi. Helsinki: Kirjayhtymä.

Mason, J. 1991. Mathematical problem solving: open, closed and exploratory in the UK. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 23 (1), 14–19.

McGregor, D. 2007. Developing Thinking, Developing Learning. A guide to thinking skills in education. McGraw Hill: Open University Press.

Monna, A.F. 1992. The way of mathematics and mathematicians. CWI tract 87. Amsterdam.

Mononen, A., Mäkelä, T., Pavela, T., Suosara, E. & Tuohi, J. 1982. Teknisen luovuuden peruskurssi. Ammattikasvatushallitus. Helsinki: Valtion painatuskeskus.

Nohda, N. 1987. A study of ‘open-approach method’ in school mathematics. Tsukuba Journal of Educational Studies in Mathematics 4, 114–121.

Nohda, N. 1991. Paradigm of the “open-approach” method in mathematics teaching: Focus on mathematical problem solving. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 23 (2), 32–37.

Nohda, N. 1995. Teaching and Evaluating Using “Open-Ended Problem” in Classroom. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 27 (2), 57–61.

Pehkonen, E. 1984. Matemaattisen ajattelun ja luovuuden kehittämisestä. Teoksessa: Matematiikan opetuksen tutkiminen ja kehittäminen 1984 (toim. J. Leino), 31–58. Tampereen yliopiston kasvatustieteen laitos. Julkaisusarja A: Tutkimusraportti N:o 33.

Pehkonen, E. 1986. Luovuus peruskoulun matematiikan opetuksessa. Dimensio 50 (2), 38-41.

Pehkonen, E. 1988. Avoimet tehtävät yläasteen matematiikan opetuksessa, osat 1-4. Dimensio 52 (6), 33-36; Dimensio 52 (7), 25-27; Dimensio 52 (8), 27–29; Dimensio 52 (9), 31-33.

Pehkonen, E. 1989. Avoimet tehtävät yläasteen matematiikan opetuksessa, osat 5-9. Dimensio 53 (1), 39-41; Dimensio 53 (2), 17-19; Dimensio 53 (3), 62-63; Dimensio 53 (4), 46-47; Dimensio 53 (5), 47-49.

Pehkonen, E. 1989. Der Umgang mit Problemfeldern im Mathematikunterricht der Sek. I. Im: Beiträge zum Mathematikunterricht 1989, 290-293. Verlag Franzbecker, Bad Salzdetfurth.

Pehkonen, E. 1993. On Teachers’ Criteria to Assess Mathematical Activities. In: Proceedings of the seventeenth PME conference (eds. I. Hirabayashi, N. Nohda, K. Shigematsu & F.-L. Lin). Volume I, 220–227. University of Tsukuba, Tsukuba.

Pehkonen, E. 1994. Avoimet tehtävät vastauksena oppimisnäkemyksen esittämiin haasteisiin. Teoksessa: Matematiikka – taitoa ajatella. Yläaste ja lukio (toim. R. Seppälä), 60–64. Helsinki: Opetushallitus.

Pehkonen, E. 1995. Introduction: Use of Open-Ended Problems. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 27 (2), 55–57.

Pehkonen, E. (ed.) 1997. Use of open-ended problems in mathematics classroom. University of Helsinki. Department of Teacher Education. Research Report 176.

Pehkonen, E. 2004. Tutkiva matematiikan oppiminen – haasteita luovuudelle peruskoulussa. Dimensio 68 (5), 32, 36-37.

Rossi, M. & Pehkonen, E. 1995. Tutkimustehtävät ja niiden arviointi peruskoulun matematiikassa. Helsinki: Opetushallitus.

Sahlberg & al. 1993

Schoenfeld, A.H. 1985. Mathematical problem solving. Orlando (FL): Academic Press.

Schupp, H. 2002. Thema mit Variationen. Aufgabenvariation im Mathematikunterricht. Verlag Franzbecker: Hildesheim.

Shimada, S. (ed.) 1977. Open-end approach in arithmetic and mathematics – A new proposal toward teaching improvement. Tokyo: Mizuumishobo. [in Japanise]

Silver, E.A. 1994. On mathematical problem posing. In: For the Learning of Mathematics 14, 19–28.

Silver, E. 1995. The Nature and Use of Open Problems in Mathematics Education: Mathematical and Pedagogical Perspectives. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 27 (2), 67-72.

Silver, E.A. 1997. Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical Problem Solving and Problem Posing. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 29 (3), 75–80.

Silver, E.A. & Mamona, J. 1989. Problem posing by middle school mathematics teachers. In: Proceedings of PME–NA 11 (eds. C.A. Maher, G.A. Goldin & R.B. Davis). Volume 1, 263–269. New Brunswick (NJ): Rutgers University.

Springer, S.P. & Deutsch, G. 1985. Left Brain, Right Brain. New York: Freeman (2. edition).

Stacey, K. 1991. Linking application and acquisition of mathematical ideas through problem solving. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 23 (1), 8–14.

Stacey, K. 1995. The Challenges of Keeping Open Problem-Solving Open in School Mathematics. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 27 (2), 67–72.

Treffers, A. 1991. Realistic mathematics education in The Netherlands 1980–1990. In: Realistic mathematics education in primary school (ed. L. Streefland), 11–20. Utrecht: Freudenthal Institute.

Viholainen, A. 2010. Lisää luovuutta matematiikkaan. Dimensio 74 (6), 70–72.

Wiliam, D. 1994. Assessing authentic tasks: alternatives to mark-schemes. Nordic Studies in Mathematics Education 2 (1), 48–68.

Williams, D. 1989. Assessment of open-ended work in the secondary school. In: Evaluation and Assessment in Mathematics Education (ed. D. F. Robitaille), 135–140. Science and Technology Education. Document Series 32. Paris: Unesco.

Wu, H. 1994. The Role of Open-Ended Problems in Mathematics Education. Journal of Mathematical Behavior 13 (1), 115–128.

Zimmermann, B. 1991. Offene Probleme für den Mathematikunterricht und ein Ausblick auf Forschungsfragen. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 23 (2), 38–46.

Becker, J.P. & Shimada, S. 1997. The Open-Ended Approach. Reston (VA): NCTM.

Brown, S. I. 1997. Thinking Like a Mathematician: A Problematic Perspective. For the Learning of Mathematics 17 (2), 36–38.

Brown, S.I. & Walter, M.I. 1983. The art of problem posing. Philadelphia (PA): Franklin Institute Press.

Büchter, A. & Leuders, T. 2005. Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern – leistung überprüfen. Cornelsen Scriptor: Berlin.

Charles, R. & Lester, F. 1982. Problem Solving: What, Why & How. Palo Alto (CA): Dale Seymour Publications.

English, L.D. 1997. The Development of Fifth-Grade Children’s Problem-Posing Abilities. Educational Studies in Mathematics 34, 183–217.

Guilford, J. 1967. The Nature of Human Intelligence. New York: McGraw-Hill.

Hakkarainen, K., Bollström-Huttunen, M., Pyysalo, R. & Lonka, K. 2005. Tutkiva oppiminen käytännössä: Matkaopas opettajille. Wsoy: Porvoo.

Hashimoto, Y. 1987. Classroom practice of problem solving in Japanese elementary schools. In: Proceedings of the U.S.–Japan seminar on mathematical problem solving (eds. J.P. Becker & T. Miwa), 94–119. Carbondale (IL): Southern Illinois University.

Kilpatrick, J. 1987. Problem formulating: Where do good problems come from? In: Cognitive science and mathematics education (ed. A.H. Schoenfeld), 123–147. Hillsdale (NJ): Lawrence Erlbaum.

Leung, S. S. 1993. Mathematical problem posing: The influence of task formats, mathematics knowledge, and creative thinking. In: Proceedings of the PME-17 conference (eds. I. Hirabayashi, N. Nohda, K. Shigematsu, & F. Lin)., Vol. III, 33–40. University of Tsukuba, Tsukuba (Japan).

Mason, J. (with L. Burton and K. Stacey) 1982. Thinking Mathematically. Bristol: Addison-Wesley.

Moses, B., Bjork, E. & Goldenberg, E.P. 1990. Beyond problem solving: Problem posing. In: Teaching and learning mathematics in the 1990s (eds. T.J. Cooney & C.R. Hirsch), 82–91. NCTM 1990 Yearbook. Reston (VA): NCTM.

Nohda, N. 1987. A study of ‘open-approach method’ in school mathematics. Tsukuba Journal of Educational Studies in Mathematics 4, 114–121.

Nohda, N. 1991. Paradigm of the “open-approach” method in mathematics teaching: Focus on mathematical problem solving. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 23 (2), 32–37.

Schupp, H. 2002. Thema mit Variationen. Aufgabenvariation im Mathematikunterricht. Verlag Franzbecker: Hildesheim.

Shimada, S. 1997. The Significance of an Open-Ended Approach. In: The open-ended approach (eds. J. Becker & L. Shimada), 1–9. Reston (VA): NCTM.

Silver, E. A. & Cai, J. 1996. An Analysis of Arithmetic Problem Posing by Middle School Students. Journal for Research in Mathematics Education 27, 521–539.

Silver, E. A. & Cai, J. 2005. Assessing Students’ Mathematical Problem Posing. Teaching Children Mathematics, 12(3), 129–135.

Silver, E.A. & Mamona, J. 1989. Problem posing by middle school mathematics teachers. In: Proceedings of PME–NA 11 (eds. C.A. Maher, G.A. Goldin & R.B. Davis). Volume 1, 263–269. New Brunswick (NJ): Rutgers University.

Zimmermann, B. 1986. From Problem Solving to Problem Finding in Mathematics. In: Mathematics Education Research in Finland (ed. P. Kupari). Yearbook 1985. Jyväskylä.

 

[Julkaistu: Dimensio 1/2013]

Lisää eDimensiossa

Dimensio 5/2018 , 24. lokakuu 2018 - 9:13
Millennium-palkinto Suomeen , 7. syyskuu 2018 - 10:21
Dimensio 4/2018 , 23. elokuu 2018 - 9:00
MAOL olemme me , 6. toukokuu 2018 - 15:16
Vuoden 2018 opettaja: Stadionilla jyrää , 6. toukokuu 2018 - 15:00
Dimensio 3/2018 , 6. toukokuu 2018 - 14:52
Luovuus, koulu ja matematiikka , 10. maaliskuu 2018 - 14:37
Teknologiateollisuus tutuksi , 10. maaliskuu 2018 - 12:16
Dimensio 2/2018 , 10. maaliskuu 2018 - 11:03
Faces of Women in Mathematics , 10. maaliskuu 2018 - 10:00
Luovuus matematiikassa , 11. helmikuu 2018 - 10:21
Kuka saa tuntea matematiikan ilon? , 11. helmikuu 2018 - 9:31
Analogiamalli sähköoppiin , 3. helmikuu 2018 - 9:30
Helsingin kerho 90 vuotta , 3. helmikuu 2018 - 9:20
Dimensio 1/2018 , 3. helmikuu 2018 - 9:00
Vuoden 2017 opettaja: Vesi, wasser, eau, voda , 19. marraskuu 2017 - 9:57
Dimensio 6/2017 , 19. marraskuu 2017 - 9:01
Opettaja artikkelin kirjoittajana , 16. marraskuu 2017 - 9:36
Dimensio 5/2017 , 29. lokakuu 2017 - 9:16
Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00