Analogiamalli sähköoppiin

Kirjoittaja: 

Maija Ahtee, matematiikan ja luonnontieteiden didaktiikan professori emerita
Photo by Ashes Sitoula on Unsplash

 

Sähkövirta, resistanssi ja jännite ovat teoreettisia käsitteitä, jotka on kehitetty erilaisten sähköopin ilmiöiden selittämiseksi. Ne tuntuvat vierailta, koska oppilaat eivät voi tehdä niistä suoria havaintoja kuten voimasta ja nopeudesta. Sähköopin käsitteisiin liittyy myös useita vääriä käsityksiä kuten sähkövirta kuluu ja siis pienenee kulkiessaan virtapiirissä. Olen tähän kääntänyt Physics Review Special Topics – Physics Education Research lehdessä vuonna 2014 ilmestyneestä artikkelista analogisen mallin, joka auttaa yläasteen oppilaita ymmärtämään näitä käsitteitä.

Analogisen mallin avulla voidaan selittää suljettuun sähköpiiriin liittyviä peruskäsitteitä ja ominaisuuksia kuten sähkövirta ja virran voimakkuus, virtalähde, suljettu ja avoin piiri, resistanssi, vastusten kytkeminen sarjaan ja rinnan. Tämä malli auttaa myös lukiolaisia ymmärtämään vaikeampia käsitteitä kuten virtalähteen sähkömotorinen voima (= potentiaaliero, joka kuvaa sitä energiaa, jonka virtalähde käyttää kuljettaakseen yhden varauksen virtapiirin läpi), piirin kahden pisteen välinen potentiaaliero ja vastuksen resistanssin muuttuminen lämpötilan funktiona. Olen lisännyt alkuperäiseen analogiseen malliin muutamia yhteyksiä fysiikkaan ja käsitellyt niitä tarkemmin.

Suljettu piiri, jossa on erilaisia laitteita (vastuksia, lamppuja, moottoreita yms.)

Tarkastellaan koulun pihaa, jossa on lampi, joka pitää kiertää, ja erilaisia puuryhmiä (Kuva 1). Kun lapsilla ei ole mitään erityistä syytä valita jotakin tiettyä kohtaa koulun pihalla, he liikkuvat siellä sattumanvaraisesti eri paikoissa. esimerkiksi jotkut liikkuvat myötäpäivään, mutta saman verran löytyy lapsia kulkemassa vastapäivään. Jos otettaisiin valokuvia eri hetkinä, lasten jakautuma koulun pihalla olisi aina samanlainen, mutta lapset olisivat eri paikoissa eri kuvissa.


Kuva 1. Koulun piha, jossa on lammikko ja puu- ja pensasrykelmiä.

 

Suljettu virtapiiri ja virtalähde

Koulun pihalle saapuu jäätelöauto ja parkkeeraa sinne (Kuva 2). Kaikki pihalla olevat lapset kuulevat samanaikaisesti jäätelöauton kellon soivan ja he tietävät, miten auto on parkkeerattu. Lasten liikkuminen muuttuu, kun he pyrkivät lähemmäksi jäätelöautoa.


Kuva 2. Jäätelöauto on tullut koulun pihalle.

 

Lasten liikkumista rajoittaa kuitenkin kolme sääntöä.

  1. Lasten kasautuminen ryhmiksi ja vastaavasti tyhjien paikkojen muodostuminen koulun pihalla on kielletty. Tästä säännöstä seuraa, että jos lapset alkavat liikkua vastakkaisiin suuntiin pihan ympäri, heidän peräänsä syntyy tyhjiä paikkoja ja he kasautuvat ryhmiksi jäätelöauton lähistölle. Ainoa keino, jotta lapset pääsisivät jäätelöauton luo on, että lapset joukkona liikkuvat samaan suuntaan ympäri pihaa. Jos jotkut lapsista lähtevät juoksemaan ja juoksevat lyhyenkin matkan tai liikkuvat sivusuuntaisesti tai vaikkapa vastakkaiseen suuntaan, toisten lasten täytyy liikkua niin, että he kumoavat näiden liikkeiden vaikutuksen. Siten lasten yhteinen liike tapahtuu yhteen suuntaan lähemmäksi jäätelöautoa ja sitten sen ohi. Lisäksi lasten liikkuminen eteenpäin ympäri pihaa on hidasta, koska puuryhmien kohdalla heidän täytyy kierrellä, etteivät törmäisi puihin. He eivät voi myöskään kasautua ryhmiksi missään kohdassa.

  2. Lasten täytyy lähestyä jäätelöautoa jakeluaukon puolelta, ja he tietävät, miten jäätelöauto on parkkeerannut pihalle. Kuvan 2 mukaisessa tilanteessa lasten liikesuunnan on oltava vastapäivään pihan ympäri.

  3. Jokainen lapsi saa vain yhden jäätelön joka kerta, kun hän ohittaa jäätelöauton. Saatuaan jäätelön hänen pitää jatkaa matkaa täysi kierros pihan ympäri, ennen kun hän saa seuraavan jäätelön.

Toisin sanoen jäätelöauton läsnäolo ja sijainti, jonka kaikki lapset havaitsevat samanaikaisesti, määrittää lasten yhteisen liikkeen suunnan ympäri pihaa. Lapset ovat innokkaita ja motivoituneita ja niinpä he yrittävät juosta lammikon ympäri kohti jäätelöautoa. Pihalla olevien puiden takia he joutuvat poikkeamaan parhaalta liikeradaltaan ja joskus jopa kulkemaan takaisinpäin, mutta heidän yhteinen liikkeensä etenee hitaasti mutta varmasti kohti jäätelöautoa.

Lasten yhteisesti suunnattua liikettä voidaan kutsua lapsivirraksi. Niiden lasten lukumäärä, jotka ylittävät tietyssä aikayksikössä (esimerkiksi sekunnin aikana) mihin kohtaan tahansa piharadan poikki piirretyn viivan, kuvaa lapsivirran voimakkuutta. Lapsivirta ei siis muutu, vaan se on sama piirin jokaisessa pisteessä. Sähkövirta on elektronien (yleisemmin varausten) liikettä. Johtimessa virtaa kuljettavilla elektroneilla on sama nopeus. Tämä on seurausta elektronien välisestä vuorovaikutuksesta ja varauksen säilymislaista.

Lapsivirta (= niiden lasten lukumäärä, jotka ylittävät mihin tahansa kohtaan piharadan poikki piirretyn viivan tietyssä aikayksikössä) riippuu sekä tarjotun jäätelön houkuttelevuudesta – mikä on ominaista jäätelöauton läsnäololle – että niistä vaikeuksista, jotka liittyvät lasten liikkumiseen piharadalla – sen ulottuvuuksiin ja puiden sijaintiin.

Resistanssi (vaikeuttaa yhteistä suunnattua liikettä; pihamaan alueilla on erilaiset resistanssit)

Resistanssin käsite liittyy siihen vaikeuteen, mikä lapsilla on liikkua pihamaalla. Tämä vaikeus, resistanssi, riippuu sekä pihamaan (virtapiirin) pituudesta ja leveydestä että puiden määrästä ja jakautumisesta pihamaalla. Reitin leveys mitataan joka kohdassa lammen reunasta pihamaan reunaan. Resistanssi kasvaa kulkureitin pituuden kasvaessa (pitkä matka on lapsille raskaampi kulkea) ja vähenee reitin levey­den kasvaessa (leveä reitti antaa enemmän vapautta kulkea). Johtimen resistanssi kertoo johtimen kyvyn vastustaa sähkövirran kulkua. Johdin on sähkövirran johtamiseen tarkoitettu kappale. Se voi olla kuparilanka, langasta tehty vastus, sähkölamppu, moottori tms.

Resistanssi on sitä suurempi, mitä tiheämmässä puut ovat. Resistanssi riippuu myös siitä, millaisia puut ovat, miten paksuja niiden rungot ovat, millaisia ja miten korkealla niiden oksat ovat. Kannattaa myös huomata, että puiden aiheuttama resistanssi on erilainen tyynenä ja tuulisena päivänä. Tuulisena päivänä lapset joutuvat väistelemään vipottavia oksia.

Pihamaan osat ovat eri pituisia, leveitä ja siellä olevat puut ovat erilaisia ja sijaitsevat toisiinsa nähden eri tavoin. Niinpä pihamaalla on osia, joissa lasten liikettä vastustava resistanssi on suuri ja sen seurauksena heidän liikkumisensa hidastuu, ja vastaavasti siellä on kohtia, joissa liikkuminen on helpompaa. Mutta säännön 1 mukaan lapsia ei voi kasautua mihinkään kohtaan koulun pihalla, joten lapsivirran etenemiseen (virran voimakkuuteeen) vaikuttaa pääasiassa tiettyjen kohtien suuri resistanssi. Jos lasten täytyy liikkua hitaasti jossakin kohtaa pihamaalla, heidän täytyy liikkua samalla nopeudella kaikkialla.

Avoin piiri

Pihamaalla on oja, jonka yli lapset eivät pääse (Kuva 3). Kun jäätelöauto tulee jakamaan jäätelöä, pihamaalla olevat lapset eivät pääse hakemaan jäätelöä, koska säännön 1 mukaan lapset eivät voi kasautua ja vastaavasti tyhjiä paikkoja ei voi muodostua mihinkään koulun pihalla. Koska lapset eivät voi tehdä koko kierrosta, minkäänlaista yhteiseen suuntaan tapahtuvaa liikkumista ei voi esiintyä. Lapsivirran voimakkuus on nolla.


Kuva 3. Lammikosta lähtee oja, jota ei voi ylittää.

 

Suljettu piiri, jossa on suuriresistanssinen vastus

Ojan yli rakennetaan kapea silta (Kuva 4), joka mahdollistaa, että lapset voivat tehdä koko kierroksen pihamaata pitkin. Rata muodostaa nyt suljetun piirin. Säännön 1 mukaan lapset eivät voi tulla lujaa vauhtia sillalle ja sitten hidastaa odottamaan, että kaikki pääsevät ylittämään sillan. Kapean sillan muodostama suuriresistanssinen vastus pienentää siis lapsivirran voimakkuutta kaikkialla piirissä. Suljetussa virtapiirissä jokaisen poikkileikkauksen läpi kulkee yhtä suuri virta.


Kuva 4. Ojan yli johtaa kapea silta.

 

Sarjaan kytkettyjen vastusten resistanssi

Kun oja on leveä, sen ylitykseen tarvitaan nyt kaksi peräkkäistä toisiinsa kiinnitettyä kapeaa siltaa (Kuva 5). Tällöin lasten liikkuminen on hitaampaa, koska kapea kohta on pitempi kuin edellisessä tapauksessa. Lasten liikkumista hidastaa suurempi resistanssi. Peräkkäisten siltojen tapauksessa lapsivirran voimakkuus on pienempi kuin tapauksessa, jolloin tarvitaan vain yksi kapea silta.


Kuva 5. Ojan yli johtaa kaksi peräkkäistä (sarjassa olevaa) kapeaa siltaa.

 

Rinnan kytkettyjen vastusten resistanssi

Rakennetaankin alkuperäisen kapean ojan yli kaksi samanlaista siltaa rinnakkain (Kuva 6) niin, että kumpikin on yhtä pitkä ja leveä kuin alkuperäinen silta. Lasten liikkumiseen kohdistuu nyt pienempi resistanssi kuin yhden sillan tapauksessa, koska lapsilla on käytettävissä kaksi reittiä. Kummallakin sillalla lapsivirran voimakkuus on puolet siitä, mitä se olisi, kun käytössä on vain yksi kapea silta.


Kuva 6. Ojan yli johtaa kaksi vierekkäistä (rinnan olevaa) kapeaa siltaa.

 

Analogiamallin ja todellisen virtapiirin välinen vastaavuus

Analogiamalli perustuu Paul Druden vuonna 1900 esittämään metalleissa vapaiden elektronien muodostamaan kaasumalliin. Lähtökohtana on siis, että metalleissa metalliatomien johde-elektronit kulkevat vapaasti tasaisesti jakautuneina omiin tiettyihin paikkoihinsa sidottujen positiivisten ionien muodostamassa hilarakenteessa.

Koulupiha eri alueineen, joissa on erilaisia puita ja puuryhmiä, ojia tai siltoja, jotka aiheuttavat erilaisia esteitä lasten liikkumiselle, vastaa sähköpiiriä, joka muodostuu metallijohtimista, joilla on eri resistiivisyys, pituus ja paksuus. Johdeaineen resistiivisyys on aineelle ominainen vakio. Kun se tunnetaan, voidaan johdekappaleen resistanssi laskea, mittaamalla käytetyn johtimen pituus ja paksuus. Oja vastaa tilannetta, jossa äärettömän suuri resistanssi estää virran kulun eli siis avointa piiriä. Puuryhmät kuvaavat erilaisia laitteita, johdinkappaleita sähköpiirissä kuten lamppuja, moottoreita yms. Puut saavat aikaan erilaista vastusta liikkumiseen riippuen siitä onko tyyntä vai tuulista. Tämä toimii johdatteluna metallijohtimien resistanssin kasvamiseen lämpötilan noustessa. Käytännössä on helppo havaita, että sähkövirta kuumentaa johdinta. Johtavuus eli konduktiivisuus on puolestaan seurausta ionien värähtelystä metallihilassa.

Lapset, jotka liikkuvat reippaina satunnaisesti ympäri pihamaata, vastaavat tasaisesti jakautuneita eri suuntiin nopeasti liikkuvia sähkövarauksia. Lapset liikkuvat pihamaalla, vaikkei jäätelöautoa siellä vielä olisikaan. Vastaavasti metalleissa on vapaita elektroneja. Virtalähde ei tuota elektroneja. Virtalähde saa aikaan sähkövirran eli saa elektronit liikkumaan tiettyyn suuntaan. Jäätelökauppiaan tehtävänä on saada oppilaat liikkumaan pitkin pihamaata tiettyyn suuntaan. Vastaavasti virtalähde siirtää energiaa vapaille elektroneille ja saa ne liikkumaan samansuuntaisesti suljetussa virtapiirissä. Virtalähteen sähkömotorinen voima, joka ideaalisessa virtalähteessä on sen napojen välinen potentiaaliero, on vakio niin kauan kuin virtalähde pystyy ylläpitämään sähkövirtaa virtapiirissä. Vastaavasti jäätelöauto saa aikaan lasten yhteisen liikkumisen niin kauan kuin jäätelöä riittää. Virtalähteellä on sille ominainen sähkömotorinen voima. Jäätelöautoilla voi olla tarjottavana eri tavoin houkuttelevia jäätelöitä.

Kuviot, joissa jäätelöauto on koulun pihalla, auttavat oppilaita ymmärtämään, että virtalähteellä on sille ominainen sisäinen resistanssi, joka voi olla mitättömän pieni. Jäätelöauto aiheuttaa lasten liikkumiselle tietyn vastuksen, jonka suuruus on ominainen jäätelöautolle, kun se määrittelee sen polun leveyden, jota lapset liikkuvat. Malliin voisi lisätä pienen johdattelun oikosulkuun. Virtalähde on oikosuljettu, kun sen napoja yhdistävän johtimen resistanssi on lähteen sisäiseen resistanssiin verrattuna hyvin pieni. Tällöin johtimeen syntyy voimakas virta, joka kuumentaa ja rikkoo laitteet. Kun johtimen resistanssi on pieni, lapset pääsevät kiertämään lujaa vauhtia ympäri pihamaata aina läkähtymiseen asti.

Virtalähteiden sarjaankytkentä voidaan yhdistää useampaan lapsille tarjottavaan tuotteeseen kuten suklaapatukkaan jäätelön lisäksi. Tämän analogian yhteydessä on helppo korostaa, että virtalähteen sähkömotorinen voima ja sisäinen resistanssi määrittävät yhdessä piirissä kulkevan sähkövirran (suuruuden) Ohmin lain mukaisesti.

Yksinkertaisessa piirissä, jossa on siis yksi virtalähde ja vastuksia sarjassa mutta sen eri kohdissa on erilainen resistanssi, sähkövirta on sama kaikkialla, koska elektronien jakautuma on samanlainen kaikkialla – elektronit eivät voi kasautua eikä voi olla kohtaa, jossa niitä ei ole ollenkaan. Virtalähde ja virtapiirin resistanssi määrittävät piirissä kulkevan sähkövirran.

Analogiamalli auttaa oppilaita ymmärtämään virtapiirin eri komponentteja yhdistävien johtimien toimintaa. Johtimet ovat paksuja, lyhyitä metallilankoja. Langat on valmistettu metallista, jonka resistiivisyys on pieni kuten kuparilla. Tällöin johtimien resistanssi on niin pieni, että se ei muuta piirissä kulkevan virran arvoa. Avoimet pihamaa-alueet vastaavat johtimia. Niiden tehtävänä on muodostaa suljettu virtapiiri.

Kaikki lapset tiedostavat jäätelöauton saapumisen kuullessaan kellon soivan. Ääniaallot etenevät ilmassa äänen nopeudella. Vastaavasti sähköpiirissä elektronit ”havaitsevat” samanaikaisesti tietyn virtalähteen sille ominaisine arvoineen (sisäinen resistanssi ja elektromotorinen voima) sekä virtapiirissä tapahtuvat muutokset kuten kytkimen avaamisen tai sulkemisen. Sähköpiirissä informaatio etenee sähkömagneettisina aaltoina, jotka kulkevat valon nopeudella. Tämän takia eivät voi kasautua johonkin kohtaan virtapiiriä ja virtapiirissä ei voi olla kohtaa, jossa ei ole lainkaan elektroneja.

Lapsille annettu jäätelö vastaa samaan suuntaan liikkuvien elektronien piirin eri komponenteille virtalähteestä siirtämää energiaa. Elektronit saavat potentiaalienergiaa, kun ne kulkevat virtalähteen läpi. Elektronien törmäykset metalli-ioneihin muodostavat energianvaihtomekanismin kaikissa komponenteissa (jotka puolestaan luovuttavat energiaa ympäristöön). Täten elektronit liikkuvat vakionopeudella (vaellusnopeudella) ja virta on vakio sekä ajan suhteen että koko virtapiirissä. Elektronien menettämä potentiaalienergia missä tahansa piirissä olevassa komponentissa riippuu virran suuruudesta ja komponentin resistanssista – johdatteluna Joulen lakiin. Elektronien vuorovaikutus metalli-ionien kanssa mahdollistaa energian siirtymisen elektroneilta kullekin komponentille, laitteelle, jotka puolestaan luovuttavat energiaa ympäristöön lämmön, valon (lamppu) tai aiheuttamansa liikkeen (moottori) muodossa. Analogiamallin mukaan on helppo ymmärtää, että elektronit eivät menetä energiaansa johtimissa, joiden resistanssi on hyvin pieni. Johtimissa ei siis tapahdu potentiaalienergian pienenemistä eli jännitehäviötä.

Mallin avulla oppilaiden on helppo ymmärtää, että kaksi sarjaan kytkettyä vastusta voidaan korvata yhdellä vastuksella, jolla on suurempi resistanssi kuin näillä. Vastaavasti kaksi rinnankytkettyä vastusta, voidaan korvata yhdellä vastuksella, jonka resistanssi on pienempi kuin kummallakaan näillä. Lisäksi oppilaat ymmärtävät, mitä tapahtuu, kun virtapiiri katkaistaan mistä kohtaa hyvänsä.

Virtalähteen napojen välillä on jännitehäviö eli toinen napa on korkeammassa potentiaalissa ja toinen taas matalammassa potentiaalissa. Virtalähteen polaarisuus on kuvattu sen symbolisessa esityksessä, josta näkyy virtapiirissä kulkevan virran suunta. Analogiamallissa virtalähteen epäsymmetrisyyttä kuvaa jäätelöauton epäsymmetrisyys. Jäätelöauto pysäköityy tietyssä suunnassa pihamaahan nähden. Vaikka kaikki lapset kuulevat yhtä aikaa auton kellon soivan, he eivät havaitse auton asentoa. Sen tähden pelin säännöissä on annettava kulkusuunta auton asentoon nähden. Todellisessa virtapiirissä kaikki komponentit saavat tämän informaation samanaikaisesti valon nopeudella etenevien sähkömagneettisten aaltojen välityksellä.

Tässä analogiamallissa negatiivisen varauksen omaavat elektronit liikkuvat metallijohteista koostuvassa sähköpiirissä, joten sähkövirran suunta on elektronien liikesuunta. Nyt on kuitenkin yleisesti sovittu, että sähkövirran suunta on positiivisten ionien suunta eli siis vastakkainen elektronien kulkusuunnalle. Tämä sopimuskäytäntö ei kuitenkaan muuta mitään edellä esitettyjä tarkasteluja.

Elektronit liikkuvat virtalähteen ulkopuolella olevassa virtapiirissä virtalähteen negatiivisesta navasta positiiviseen napaan, missä niillä on pienempi sähköinen potentiaalienergia. Virtalähteen läpi kulkiessaan elektronit saavat takaisin virtapiirin komponenteissa menettämäänsä energiaa. Vastaavasti positiiviset varaukset kulkisivat virtalähteen positiivisesta navasta negatiiviseen, missä niillä olisi pienempi potentiaalienergia. Myös ne saisivat menettämäänsä energiaa takaisin kulkiessaan virtalähteen kautta. Todellisuudessa ja aikoinaan sovitun käytännön mukaisesti sähkövirta kulkee siis vastakkaisiin suuntiin. Mutta sillä mihin suuntaan virta todellisuudessa kulkee ei sinänsä ole merkitystä, koska liikkuvat varaukset olivat ne positiivisia tai negatiivisia menettävät energiaa kulkiessaan virtapiirissä ja saavat energiaa kulkiessaan virtalähteen läpi.

Kun virtalähteen sisäinen potentiaalienergia loppuu, myös virtapiirissä virta lakkaa kulkemasta, vaikka virtapiiri olisi suljettu. Tällöin sanotaan, että paristo on tyhjä. Tämä ilmaisu tulkitaan helposti väärin tarkoittamaan, että varaukset ovat kuluneet loppuun kiertäessään virtapiirissä ja että paristo on varausten lähde.

Photo by Matthew Henry on Unsplash

 

Analogiamallin heikkouksia

Oppilaat voivat vahingossa yhdistää jäätelöautosta saadut jäätelöt piirissä liikkuviksi varauksiksi. Kun jäätelö loppuu, myös lapsivirta loppuu. Mutta tällöin lapset eivät lopu, vaan lapset eivät enää liiku, koska heillä ei enää ole syytä liikkua tiettyyn suuntaan – he eivät saa jäätelöä ohittamalla jäätelöauton.

Tarkastellaan esimerkkinä tapausta, jossa piirissä oleva yksi silta korvataan kahdella samanlaisella sillalla, jolloin siinä kohtaa liikettä vastustava resistanssi pienenee puoleen. Oppilaille kannattaa tällöin korostaa, että vaikka lasten liike (virta) kasvaa koko piirissä virta (virran suuruus) ei muutu, kaksinkertaistu, vaan virta (virran suuruus) riippuu piirin kokonaisresistanssista.

Oppilailla voi myös olla vaikeuksia erottaa käsitteet elektronien vaellusnopeus (mikä siis voi vaihdella eri osissa piiriä) ja virta (virran voimakkuus, jolla on sama arvo kaikkialla piirissä) toisistaan. Elektronien vaellusnopeus riippuu piirin paikallisista dimensioista, kun taas elektronien lukumäärä minkä tahansa poikkileikkauksen läpi aikayksikössä määrittää virran voimakkuuden. Koska virta (virran voimakkuus) on sama kaikkialla piirissä säännön 1 mukaan (elektronit eivät voi kasautua tai jättää jotakin kohtaa tyhjäksi) elektronit kulkevat laitteissa, joilla on suuri resistanssi (esimerkiksi kapeissa kohdissa) nopeampaa (suuremmalla vaellusnopeudella) ja vastaavasti hitaammin toisissa laitteissa, joiden resistanssi on pieni (esimerkiksi leveissä kohdissa). Vastaavasti kaasut (kuten ilma) ja nesteet (kuten vesi) virtaavat leveissä kohdissa hitaammin kuin kapeissa.

Viite

M.J.B.M. de Almeida, A.Salvador & M.M.R.R. Costa 2014. Analogy for Drude’s free electron model to promote students’ understanding of electric circuits in lower secondary school. Physical Review Special Topics – Physics Education Research 10, 020118. DOI: 10.1103/PhysRevSTPER.10.020118.

 

[Julkaistu: Dimensio 1/2018]

Lisää eDimensiossa

Luovuus matematiikassa , 11. helmikuu 2018 - 10:21
Kuka saa tuntea matematiikan ilon? , 11. helmikuu 2018 - 9:31
Analogiamalli sähköoppiin , 3. helmikuu 2018 - 9:30
Helsingin kerho 90 vuotta , 3. helmikuu 2018 - 9:20
Dimensio 1/2018 , 3. helmikuu 2018 - 9:00
Vuoden 2017 opettaja: Vesi, wasser, eau, voda , 19. marraskuu 2017 - 9:57
Dimensio 6/2017 , 19. marraskuu 2017 - 9:01
Opettaja artikkelin kirjoittajana , 16. marraskuu 2017 - 9:36
Dimensio 5/2017 , 29. lokakuu 2017 - 9:16
Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 9:00
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 9:00
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 9:00